傻逼三角函数学习笔记

除了上面这张图都是贺的一数的

正弦：$\sin$ ，余弦：$\cos$ ，正切：$\tan$ ，余切：$\cot$ ，正割：$\sec$ ，余割：$\csc$

任意角三角函数：在平面直角坐标系上画一个单位圆，角 $\alpha$ 作为角度，边按照三角函数规则比起来就是任意角三角函数，与圆相连的是斜边，对边就是对边，临边就是临边

同角三角函数的基本关系

首先有 $x^2+y^2=1$

1. $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$
2. $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ 注意 $\cos \alpha$ 不能等于 $0$ ，即 $\alpha\not=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}$

诱导公式

这里只用证明第一象限是正确的就可以推广到所有象限了

$y=\sin \alpha$ 是奇函数

$y=\cos \alpha$ 是偶函数

$y=\tan \alpha$ 是奇函数

画个单位圆就出来了

$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha$ 这两个角互余

$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha$ 同理

$\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cot\alpha$ 定义

$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$

$\cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha)$

$\tan(\pi-\alpha)=-\tan(\alpha)$

奇变偶不变，符号看象限

$\sin(\alpha+k\frac{\pi}{2}),\sin(\alpha+k\frac{\pi}{2})$

当 $k$ 为奇数的时候 $\sin(\cos)$ 变为 $\cos(\sin)$

将 $k \bmod 4$ 后看原来三角函数正负值

$\sin(\alpha-\frac{3}{2}\pi)=\sin(\alpha+(-3)\frac{\pi}{2})=\cos\alpha$

$\cos(\frac{7}{2}\pi-\alpha)=cos(\alpha-\frac{3}{2}\pi)=-\sin\alpha$ 第一部转化是因为是偶函数

三角恒等变换

三角函数和与差公式

研究多个角之间的关系

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{ 1-\tan\alpha\tan\beta}$

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{ 1+\tan\alpha\tan\beta}$

后面柿子的符号可以通过角的大小变化来记

辅助角公式

$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt2(\sin\alpha\frac{1}{\sqrt2}+\cos\alpha\frac{1}{\sqrt2})$

因为 $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}$

所以原式等于 $\sqrt2(\sin\alpha\cos45^\circ+\cos\alpha\sin45^\circ)=\sqrt2\sin(\alpha+45^\circ)$

推广：

$A\sin\alpha+B\cos\alpha=\sqrt{A^2+B^2}(\sin\alpha\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}+\cos\alpha\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}})$

发现一定可以找到一个角 $\beta$ 使得 $\cos\beta=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\sin\beta=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$

所以原始等于 $\sqrt{A^2+B^2}\sin(\alpha+\beta)$

二倍角公式

我们知道 $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ ，所以当 $\alpha=\beta$ 时 $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

同理 $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

因为 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ ，所以 $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ ，同理，也有 $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ ，这玩意是可以降次的

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

解三角形

正弦定理

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R,R$ 是外接圆半径

证明：作垂线就行了，$2R$ 就做一个这个就好了

余弦定理

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

推论：$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

证明：设向量 $AB$ 为 $\vec{c}$ ，向量 $CB$ 为 $\vec{a}$ 向量 $CA$ 为 $\vec{b}$

有 $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$

$\vec{c}^2=(\vec{a}+\vec{b})^2$

$c^2=\vec{a}^2+\vec{b}^2+2\vec{a}\vec{b}$

$c^2=a^2+b^2+2ab\cos C$